Нам известно огромное число выдающихся математиков. Среди них стоит выделить научную деятельность Феликса Клейна, которая имела огромный обхват.
Во-первых, идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии принадлежит именно Феликсу Клейну. Выражаясь иными словами, объектами изучения становятся различные варианты этих преобразований, а разделы геометрии отличаются друг от друга тем, что им соответствуют разные группы пространственных преобразований.
Геометрия, изучающая свойства тел и фигур, которые сохраняют свою форму при движениях без деформации, получила название классической геометрии. Именно ее мы и рассмотрим. Соответствующая ей группа, содержит переносы, вращения и их сочетания. Проективная геометрия может изучать конические сечения, но стоит заметить, что она не имеет дело ни с углами, ни с кругами. Это обосновывается тем, что круги и углы не сохраняются при проективных преобразованиях. Исследованием различных вариантов свободный произвольных преобразований занимается наука, получившая название топологии. (важно заметить, что высказал эту особенность Феликс Клейн задолго до того, как появилась наука топология). Мы можем открыть новые глубокие свойства соответствующей геометрии, а также проще доказать старые. Добиться этого мы можем лишь изучая алгебраические свойства групп преобразований. Медиана есть аффинный инвариант - это самый распространенный пример.
В 1872 г состоялось грандиозное сообщение ученого, которое получило название «Эрлангенской программы», именно на нём Клейн высказал свои идеи. Выступление заставило обратить на себя внимание математиков всей Европы и дало толчок к дальнейшим открытиям.
Наиболее яркой работой стала Бутылка Клейна.
За следующие 3 года Клейн написал больше 20 работ по неевклидовой геометрии, теории многогранников и так далее. Одним из важнейших его достижений стало первое доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. В 1882 году он представил одностороннюю поверхность - "бутылку Клейна".
Феликс Клейн создал ряд пособий о решении уравнений 5-й, 6-й и 7-й степеней. Труды математика печатались под его руководством, он же был редактором своих статей, начиная с 1875 года. Его верным помощником был Адольф Майер. Некоторые время спустя он исследовал автоморфные функции, теорию волчка.
Многие статьи и лекции много раз были переведены на разнообразные языки. Неудивительно, что лекции учёного были так популярны.
Также ученый выпустил трёхтомник Собраний сочинений
1936г: Клейн Феликс: Высшая геометрия.
1937г: Клейн Феликс: Лекции о развитии математики в XIX столетии. Часть 1.
1987г: Клейн Феликс: Элементарная математика с точки зрения высшей. Том 1
1987г: Клейн Феликс: Элементарная математика с точки зрения высшей. Том 2